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L'analyse transformationnelle utilise des outils algébriques pour étudier les transformations entre objets musicaux. La théorie des catégories permet de généraliser cette approche et de proposer de nouvelles formalisations, notamment pour l'étude des réseaux transformationnels.
L'analyse transformationnelle, introduite par David Lewin avec les Generalized Interval Systems (GIS), a marqué un tournant dans la musicologie mathématique en privilégiant l'étude des transformations entre objets musicaux plutôt que la nature et la fonction des objets eux-mêmes. Cette approche s'appuie sur un formalisme algébrique faisant intervenir des actions de groupes ou de monodies sur des ensembles d'objets musicaux. Son application analytique conduit à la notion de 'réseau transformationnel', un graphe dirigé dont les noeuds sont étiquetés par des objets musicaux et les flèches par des transformation (des éléments de groupe) entre ces objets. Dans le cas spécifique de l'étude des classes de hauteurs, ces réseaux sont connus sous le nom de 'Klumpenhouwer networks' (K-Nets). De tels graphes doivent obéir à une double condition de cohérence, à la fois sur la composition des transformations et sur leur action sur les objets musicaux. Ils peuvent alors être utilisés pour comparer différents extraits musicaux, notamment via les notions d'isographie entre réseaux transformationnels.
Nos contributions :
PK-Nets (Poly-Klumpenhouwer Networks) : Nous avons développé une formalisation des réseaux musicaux par la théorie des catégories via une approche diagrammatique. Ce cadre garantit la cohérence des diagrammes musicaux par construction et permet de définir les isographies et homographies comme des morphismes de réseaux, autorisant ainsi la comparaison de structures musicales issues de domaines variés.
Extension au cadre relationnel (Rel-PK-Nets) : Afin de dépasser les fonctions strictes, nous avons étendu le modèle à la catégorie Rel des ensembles et des relations binaires entre eux. Cette avancée permet notamment de modéliser des transformations musicales "parsimonieuses" (comme les mouvements de voix minimaux) et des relations de proximité qui ne sont pas nécessairement des bijections.
Relations métriques et structures d'ordre supérieur (2-catégories) : Dans le cadre de l'analyse du rythme et du mètre, nos travaux ont mis en évidence l'existence de relations métriques complexes ne pouvant être réduites à de simples groupes. Nous avons formalisé ces structures sous la forme de 2-monoïdes algébriques agissant sur des espaces temporels. L'utilisation des 2-catégories permet ici de rendre compte non seulement des transformations rythmiques, mais aussi des transformations entre ces transformations, offrant un modèle hiérarchique pour la temporalité musicale.
Nouvelles approches algébriques : Nous avons proposé les CT-Nets, qui exploitent la catégorie des éléments associée aux foncteurs des PK-Nets. Cette approche simplifie radicalement la représentation des réseaux, les rendant plus intelligibles pour l'analyste et plus faciles à traiter par l'ordinateur. Par ailleurs, nous avons également montré que les réseaux transformationnels peuvent être exprimés sous forme de vecteurs et de matrices sur des demi-anneaux booléens, qui peuvent être plus facilement manipulés dans une implémentation computationnelle.
Développement de la librairie Opycleid : L'ensemble de ces recherches a abouti à la création d'une librairie Python open-source. Elle permet d'automatiser l'analyse de partitions, de vérifier la cohérence des réseaux et de visualiser les trajectoires transformationnelles au sein d'une œuvre.
Bibliographie :
David Lewin. Generalized Music Intervals and Transformations, Yale University Press, 1987
David Lewin. Klumpenhouwer Networks and Some Isographies That Involve Them, Music Theory Spectrum, 12(1), (1990), pp. 83–120
Jack Douthett, Peter Steinbach. Parsimonious Graphs : A Study in Parsimony, Contextual Transformations, and Modes of Limited Transposition, Journal of Music Theory, 42(2), (1998), pp. 241–263
John Rahn. Cool tools : Polysemic and non-commutative Nets, subchain decompositions and cross-projecting pre-orders, object-graphs, chain-hom-sets and chainlabel-hom-sets, forgetful functors, free categories of a Net, and ghosts, Journal of Mathematics and Music, 1(1), (2007), pp. 7–22
Guerino Mazzola, Moreno Andreatta. From a Categorical Point of View : KNets as Limit Denotators, Perspectives of New Music, 44(2), (2006), pp. 88–113
Alexandre Popoff, Moreno Andreatta, Andrée Ehresmann. A Categorical Generalization of Klumpenhouwer Networks, in Proceedings of Mathematics and Computation in Music 2015, pp. 303–314, Springer International Publishing.
Alexandre Popoff, Carlos Agon, Moreno Andreatta, Andrée Ehresmann. From K-nets to PK-nets : a Categorical Approach, Perspectives of New Music, 54(2), (2016), pp. 5–63
Alexandre Popoff, Moreno Andreatta, Andrée Ehresmann. Relational polyKlumpenhouwer networks for transformational and voice-leading analysis, Journal of Mathematics and Music, 12(1), (2018), pp. 35–55
Alexandre Popoff, Jason Yust. Meter networks : a categorical framework for metrical analysis, Journal of Mathematics and Music, 16(1), (2022), pp. 29–50
Alexandre Popoff. Opycleid : A Python package for transformational music theory, Journal of Open Source Software, 3(32), (2018), p. 981
Alexandre Popoff, Moreno Andreatta. Hidden Categories : A New Perspective on Lewin’s Generalized Interval Systems and Klumpenhouwer Networks, in Proceedings of Mathematics and Computation in Music 2024, pp. 97–110, Springer Nature Switzerland, Cham.
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