Homologie persistante

Complexes d’accords et interprétation topologique du Tonnetz : Nous avons développé la notion de complexes d’accord qui permet de représenter un espace harmonique par un espace topologique, et d’analyser l’harmonie d’une pièce musicale par une trajectoire dans cet espace [2,3]. Cette notion permet une nouvelle interprétation topologique du Tonnetz généralisé dans ses liens avec le paradigme informatique du calcul spatial [4].

Filtration de complexes de classes tonales : En considérant une pièce comme une série de courtes tranches de temps représentant des classes de notes, on peut construire une filtration d’un complexe simplicial représentant ces notes [5]. Ces filtrations permettent d’identifier des similarités entre deux séquences musicales

Problème de classification du style à partir du Tonnetz : Nous avons proposé de représenter une pièce musicale par des déformations du Tonnetz, dont on peut ensuite analyser les caractéristiques topologiques avec l’homologie persistante. En calculant la distance entre les diagrammes de persistance, on peut alors proposer une classification du style [6,7]. Ces résultats sont en grande partie issus du travail de thèse de Mattia Giuseppe Bergomi [8].

Transformation de Fourier discrète et homologie persistante : Nous avons proposé d’associer à une pièce musicale un ensemble de points représentant l’ensemble de ses mesures. Après avoir tenté d’utiliser la distance de Haussdorff pour calculer la distance entre les points [9,10], Victoria Callet a découvert que la transformation de Fourier discrète permettait de rendre compte de propriétés musicales pertinentes [11]. L’utilisation de cet outil donne lieu à des applications dans l’étude de l’harmonisation de chansons, la classification du style et l’étude de la structure des morceaux [12].

Théorie des graphes et homologie persistante : Pour rendre compte de l’aspect temporel d’une progression harmonique, Riccardo Gilblas a proposé d’utiliser la filtration Dowker permettant de construire des filtrations de complexes simpliciaux à partir de graphes [13, 14]. Cette approche  permet notamment d’évaluer la complexité harmonique d’un morceau.