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En utilisant la représentation circulaire, un rythme peut être considéré comme un polygone. Cette modélisation géométrique permet d'utiliser les mathématiques pour l'analyse et la génération de rythmes musicaux.
Dans son livre The Geometry of Musical Rhythms, Godfried Toussaint a étudié certains rythmes populaires en analysant leurs propriétés géométriques [1]. Voici quelque-unes de ces propriétés :
Rythmes Euclidiens : Ce sont les rythmes qui maximisent la distance entre les notes. C'est une propriété qu'on retrouve dans certains rythmes de musique traditionnelle [2]. Par exemple, le rythme Euclidien E(5,16) a 5 notes dans une subdivision égale à 16 est le rythme de la Bossa Nova : x..x..x....x..x.. (x=note, .=silence) qui correspond aux durées 33433.
Rythmes équilibrés : Ce sont les rythmes dont le centre du polygone coïncide avec le centre du cercle. Andrew Milne et al. ont montré que ces rythmes sont toujours une somme positive et négative de polygones réguliers [3]. Par conséquent, cette propriété est une généralisation du concept de polyrythmie.
Imparité rythmique : Ce sont les rythmes dont aucune note n'est situé à l'exact opposé d'une autre note. C'est une propriété découverte par Simha Arom et étudiée par Marc Chemilier et al. [4]. Cela permet de modéliser certains rythmes africains asymétriques tels que ce motif rythmique présent dans la musique des Pygmées Aka : x..x.x.x.x.x..x.x.x.x.x. (x=note, .=silence) qui correspond aux durées 32222322222.
Nos contributions :
Génération de rythmes musicaux : Lors de la International Conference on Mathematics and Computation in Music (MCM 2024), nous avons proposé des formules mathématiques pour quantifier ces propriétés géométriques, c'est-à-dire à quel point un rythme est Euclidien, équilibré, impaire etc. Cela nous a permis de générer des rythmes en fonction de certaines propriétés géométriques. Les résultats montrent que les rythmes avec le meilleur score correspondent à des rythmes populaires [5].
Site interactif : Nous avons développé l'environnement web "Cercle rythmique" pour créer des rythmes à partir de la représentation circulaire. Ce site est open-source et accessible à l'adresse : https://rhythm-circle.com. Il a été présenté lors de la International Computer Music Conference (ICMC 2025) [6].
Projet musical : Nous avons composé et enregistré une pièce musicale basée sur la représentation circulaire (Paul Lascabettes - Rotation). Ce projet de musique algorithmique utilise les pavages musicaux. Nous avons montré, dans un article paru dans le Journal of Mathematics and Music [7], que cette technique généralise les travaux du compositeur minimaliste Tom Johnson pour générer des séquences non-périodiques.
Vulgarisation scientifique : Enfin, un projet de vidéos sur la représentation circulaire soutenu par le CNC a été réalisé sur la chaîne YouTube "Mathémusique" [8].
Bibliographie :
[1] Godfried Toussaint. The Geometry of Musical Rhythm: What Makes a" Good" Rhythm Good?, CRC Press (2019).
[2] Godfried Toussaint. The Euclidean Algorithm Generates Traditional Musical Rhythms, BRIDGES (2005).
[3] Andrew Milne, David Bulger & Steffen A. Herff. Exploring the Space of Perfectly Balanced Rhythms and Scales, Journal of Mathematics and Music (2017).
[4] Marc Chemillier & Charlotte Truchet. Computation of Words Satisfying the “Rhythmic Oddity Property”(After Simha Arom’s Works), Information Processing Letters (2003).
[5] Paul Lascabettes & Isabelle Bloch. What Are "Good" Rhythms? Generating Rhythms Based on the Properties Set Out in The Geometry of Musical Rhythm, Mathematics and Computation in Music (2024).
[6] Paul Lascabettes, Corentin Guichaoua & Moreno Andreatta. The Rhythm Circle: An Interactive Open-Source Web Environment Based on the Circular Representation, International Computer Music Conference (2025).
[7] Paul Lascabettes. Generating Non-Periodic Pitch Sequences Inspired by the Tiling Process Developed by Tom Johnson, Journal of Mathematics and Music (2025).
[8] Paul Lascabettes. Chaîne YouTube Mathémusique (https://www.youtube.com/@mathemusique).
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