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La musique pose des défis nouveaux pour la recherche fondamentale en mathématiques et en informatique. Nous proposons ici de vous partager certains problèmes théoriques ouverts sur lesquels nous travaillons et qui trouvent leurs origines dans la musique.
L‘histoire des rapports entre la musique et les mathématiques est couronnée de moments où des problèmes théoriques posés par les musiciens (théoriciens de la musique, analystes ou compositeurs) ont permis de faire avancer les connaissances en mathématiques et en informatique. Des exemples célèbres comprennent l’invention de la combinatoire par Marin Mersenne, à partir d’un problème de calcul de mélodies dans une représentation circulaire des notes, ou l’invention de la théorie des graphes par Léonard Euler, à partir d’une recherche des progressions harmoniques dans une représentation bidimensionnelle de l’espace harmonique. Plus récemment, plusieurs questions théoriques posées par la musique ont montré leur proximité avec des domaines de recherche en mathématiques dans lesquels certains problèmes difficiles constituent parfois des conjectures ouvertes. En voici quelques exemples :
Les distances intervallaires réitérées sur des suites modales et leur caractère algébrique : La théorie des suites modales a été introduite par le compositeur roumain Anatol Vieru (1926-1998) dans son ouvrage The Book of Modes [1] et formalisée par le mathématicien Dan Tudor Vuza dans une série d’articles qui montrent le caractère algébrique des constructions du compositeur [2].
La relation Z en musique et son lien avec la théorie de l’homométrie : Dans la Set Theory d’Allen Forte [3], deux accords sont en relation Z s’ils ont le même contenu intervallaire. En cristallographie, deux cristaux sont homométriques s’ils ont la même fonction de Patternson [4]. En appliquant la théorie de l’homométrie à des ensembles de points et, en particulier, à des sous-ensembles des groupes cycliques d’ordre n on obtient un cadre élégant pour développer une théorie de la relation Z dans toute division de l’octave en n parties égales [5].
La construction des canons rythmiques mosaïques et la conjecture spectrale : Ce modèle compositionnel a été proposé par Dan Vuza en tant qu’extension de la théorie modale d’Anatol Vieru au domaine rythmique [6]. En particulier, Vuza a montré l’existence de canons rythmiques mosaïques obtenu à partir de deux sous-ensembles non-périodiques d’un groupe cyclique d’ordre n. Cette construction est étroitement liée à la conjecture de Fuglede (ou conjecture spectrale) postulant l’équivalence entre le pavage de l’espace Euclidien par translation d’un sous-ensemble donné et le caractère spectral de ce dernier [7]. La conjecture est fausse en dimension supérieure ou égale à trois et rester ouverte en dimension 1 et 2.
Nos contributions :
Généralisation des suites modales : Nous avons montré que le théorème de décomposition de toute suite périodique en composante réductible et irréductible est un cas particulier d’un résultat plus général connu comme Lemme de Fitting, dont nous avons proposé une version généralisée [8]. La théorie des suites modales a été généralisée récemment par Riccardo Gilblas dans sa thèse de doctorat [9].
Homométrie d'ordre supérieur et cas continu : Nous avons généralisé la théorie de l’homométrie au cas des ensembles localement compacts munis d’une mesure de Haar [10, 11]. Cela permet d’obtenir une généralisation de certains résultats liés à l’homométrie, comme le théorème de l’hexacorde de Milton Babbitt, dans le cas continu. Ces constructions peuvent se généralisent ultérieurement en considérant des espaces métriques avec des mesure de probabilité [12].
Lien entre spectralité et canons rythmiques mosaïques : Nous avons abordé l’étude computationnelle des canons de Vuza en donnant les premiers catalogues exhaustifs des solutions [13]. Emmanuel Amiot a montré la spectralité de tout canon rythmique mosaïque qui n’est pas un canon de Vuza, ce qui signifie qu’un possible contrexemple à la conjecture de Fuglede en dimension 1 doit nécessairement appartenir à la classe des canons de Vuza [14]. Une extension des canons de Vuza (Extended Vuza Canons) a été proposée par Greta Lanzarotto dans sa thèse de doctorat, en proposant de nouveaux algorithmes pour construire des factorisations non-périodiques d’un groupe cyclique d’ordre n [15]. Le problème de trouver un algorithme exhaustif pour énumérer tous les canons de Vuza reste ouvert.
Bibliographie :
[1] Anatol Vieru. The Book of Modes. Editura Muzicala (1993). Ed. orig. Cartea Modurilor. Editura Muzicala (1980).
[2] Dan Tudor Vuza. Aspects mathématiques dans la théorie modale d’Anatol Vieru. Parts 1-4, Revue Roumaine de Mathématiques Pures et Appliquées, 27 (1982), n° 2 et 10 ; 28 (1983), n° 7 et 8.
[3] Allen Forte. The Structure of Atonal Theory. Yale University Press (1977).
[4] Arthur Lindo Patterson. Ambiguities in the X-Ray Analysis of Crystal Structures. Physical Review, 65 (5-6), p. 195-201 (1944).
[5] Daniele Ghisi. Vettori intervallari : non degenerazione e Z-relation. Tesi di laurea, Université Milano Bicocca (2006).
[6] Dan Tudor Vuza. Supplementary sets and regular complementary unending canons (en quatre parties). Perspectives of New Music (1991-1993).
[7] Bent Fuglede. Commuting self-adjoint partial differential operators and a group theoretic problem. Journal of Functional Analysis. 16: 101–121 (1974).
[8] Moreno Andreatta, Dan Vuza et Carlos Agon. On some theoretical and computational aspects of Anatol Vieru’s periodic sequences. Soft Computing, vol. 8, n° 9, p. 588-596 (2004).
[9] Riccardo Gilblas. Suites périodiques et homologie persistante appliquée à la musique : fondements théoriques et nouveaux résultats. Thèse de doctorat en mathématiques, Université de Padou / Université de Strasbourg (2024).
[10] John Mandereau, Daniele Ghisi, Emmanuel Amiot, Moreno Andreatta, Carlos Agon. Z-relation and homometry in musical distributions. Journal of Mathematics and Music, 5(2), p. 83-98 (2011).
[11] John Mandereau, Daniele Ghisi, Emmanuel Amiot, Moreno Andreatta. Discrete phase retrieval in musical structures. Journal of Mathematics and Music, 5(2), p. 99-116 (2011).
[12] Moreno Andreatta, Corentin Guichaoua, Nicolas Juillet. New hexachordal theorems in metric spaces with a probability measure. Rendiconti del Seminario Matematico della Università di Padova, 152, p. 45-58 (2023).
[13] Moreno Andreatta. La théorie mathématique de la musique de Guerino Mazzola et les canons rythmiques. Mémoire de DEA, Université de Paris IV-EHESS-IRCAM (1999).
[14] Emmanuel Amiot. New perspectives on rhythmic canons and spectral conjecture. Journal of Mathematics and Music. 3(2) 71-84 (2009)
[15] Greta Lanzarotto. Extended Vuza Canons. Thèse de doctorat en mathématiques, Université de Padou / Université de Strasbourg (2021).
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